Transformasjonsmatrise

Transformasjonsmatrise er en matrise som representerer en lineær transformasjon mellom vektorrom. For en lineær transformasjon T: V → W over et felt F, og valgte baser α = (a1, …, an) i V og β = (b1, …, bm) i W, finnes det en unik matrise A slik at for alle v ∈ V gjelder [T(v)]_β = A [v]_α. Her betegner [v]_α koordinatvektoren til v i basen α, og [T(v)]_β koordinatvektoren til T(v) i basen β. Kolonnene i A er koordinatvektorene til bildene T(a1), …, T(an) uttrykt i β.

Når α og β er standardbasene i R^n og R^m, kalles A den standard transformasjonsmatrisen for T, og koordinatsamsvaret blir [T(v)]_β = A [v]_α, som i praksis betyr at man multipliserer kolonnevektoren til v med A for å få koordinatene til T(v).

Egenskaper og sammensetning: For to lineære transformasjoner T1: V → W og T2: W → X med matriser A1 og A2 i passende baser, har sammensetningen T2 ∘ T1 matrise A2 A1 (forutsatt at basene er konsekvent valgt). Hvis T er invertibel, er også A invertibel, og (T^{-1}) har matrise A^{-1}. Determinanten til A gir omfangsskalaen av transformasjonen, og egenverdier og egenvektorer gir spesielle retninger og skala ved anvendelse.

Endring av baser: Hvis man skifter baser i domenet og/eller målet, endres matrisen i samsvar med A' = P_W^{-1} A P_V, der P_V er endringsmatrisen fra gammel til ny basis i V og P_W tilsvarende i W. Transformasjonsmatriser er grunnleggende i lineær algebra og anvendes bredt i geometri, grafikk og anvendte beregninger.