koordinatvektoren

Koordinatvektoren er en måte å representere en vektor på ved hjelp av en valgt basis. For et vektorrom V over et felt F og en basis B = (b1, ..., bn) er hvert vektor v i V unik uttrykt som v = v1 b1 + v2 b2 + ... + vn bn, hvor koordinatene viillerer v_i i F. Koordinatvektoren av v med hensyn til B er den n-tuple (v1, ..., vn). Den tilsvarende lineære avbildningen v ↦ (v1, ..., vn) er en isomorfi mellom V og F^n.

I tilfellet V = F^n med standardbasis e1, ..., en er koordinatvektoren av v bare komponentene i v, og den tilsvarende vektoren er ofte skrevet som kolonnevektoren [v1, ..., vn]^T.

Endring av basis påvirker koordinatene. Hvis man velger en ny basis B' og ønsker koordinatene av samme v, må man bruke endringsbasis-matrisen. Den samme geometriske vektoren har dermed forskjellige koordinater avhengig av valgt basis, selv om v er uforandret.

Eksempel: I R^2 kan v = (3, 4) ha koordinatvektoren (3, 4) i standardbasis, men i basis B' = ((1,0), (1,1)) får man v = a(1,0) + b(1,1) med løsninger a = -1, b = 4, så koordinatvektoren er (-1, 4) i denne basisen.

Koordinatvektorer brukes i lineær algebra for å forenkle beregninger med vektorer og lineære transformasjoner, siden vektorer kan representeres som kolonnevektorer og lineære operasjoner blir matriseoperasjoner relative til en valgt basis.