Topoloogiat

Topoloogia on matemaatika haru, mis uurib omadusi, mis jäävad muutumatuks pideva deformeerimise all. See keskendub ruumide struktuurile ja suhetele nende punktide vahel, mitte mõõtudetele nagu pikkus või nurk. Mõistet defineeritakse tavaliselt topoloogilise ruumi kaudu: topoloogiline ruum on paari (X, τ) kujul, kus X on hulk ja τ on avatud hulkade kogum. τ peab sisaldama tühja hulka ja X-i; igasuunaline liit avatud hulka on avatud ning iga lõike finitsetest avatud hulka on avatud. Avatud hulgad annavad meile mõiste pidevusest, kontuurist ja ühendusest ilma geomeetriliste mõõtmeteta. Suletud hulgad on nende kompimente, ja pidev funktsioon f: X → Y on selline, et iga avatud hulk U Y-s pöördub tagasi avatud hulgaks f^{-1}(U) X-s.

Olulised mõisted on ühendus, kompaktus ning eraldusvõime (näiteks T1 ja Hausdorff). Kontseptsioonid homeomorfism ja kontinuaalsed koordinaadid aitavad mõista, millised omadused on ruumide vahel samad. Topoloogia hõlmab mitmeid harusid, sealhulgas üldtopoloogia (point-set topology), algebrotopoloogia (homotopy, homoloogia ja koomoloogia), diferentsiaal- ja geomeetri-topoloogia ning topoloogiline dünaamika.

Ajalugu: modernne topoloogia kujunemine algas 20. sajandi esimesel poolel, panustajate seas olid Brouwer, Poincaré, Hausdorff ja teised; termin “topoloogia” levis laialdasemalt 20. sajandi algul. Tänapäeval on topoloogia oluline tööriist nii teoreetilises matemaatikas kui ka rakendustes.

Rakendused: topoloogia pakub tööriistu analüüsile, geomeetriale ja tehisintellektile; seda kasutatakse ka füüsikas, bioloogias ja andmetöötluses, sealhulgas topoloogilises andmetöötluses (TDA), mis uurib andmete ruumilist struktuuri. Näited ruumidest: R^n varjatud topoloogia ning erinevad kompaktsed pinnad nagu S^1 või torus.