Todennäköisyysmääreet

Todennäköisyysmääre on matemaattinen väline, jolla määritellään tapahtumien todennäköisyydet. Se koostuu mitta-tilasta eli otosavaruudesta (Ω, F), jossa Ω on perusta ja F on σ-algebra, eli joukko tapahtumista, joille voidaan määrittää todennäköisyydet. Todennäköisyysmääre P on funktio P: F → [0,1], joka täyttää Kolmogorov’n aksioomat: P(A) ≥ 0 kaikille A ∈ F; P(Ω) = 1; ja σ-­additiviteetti: kaikille disjunkttien joukkojen A_i ∈ F, P(∪_i A_i) = ∑_i P(A_i). Näistä seuraa muun muassa P(∅) = 0 ja P(A) ≤ P(B), kun A ⊆ B.

Todennäköisyysmääre kuvaa jakauman, jolla tapahtuma X toteutuu. Satunnaismuuttuja X: Ω → ℝ määrittää sen jakauman P_X, joka on P_X(B) = P(X^{-1}(B)) kaikille Borel-jakauman B: lle. Jos jakaumalla on tiheys f suhtessa Lebesgue-mittaan, P_X(B) = ∫_B f(x) dx. Esimerkkejä yleisistä jakaumista ovat normaalijakauma N(0,1), binomijakauma sekä monet muut; Dirac-määre δ_a on pistemäinen jakauma. Lebesgue-mitta itsessään on mitta, ei todennäköisyysmääre, mutta sitä käytetään usein tiheyksien määrittelyssä. Todennäköisyysmääreet ovat keskeisiä tilastotieteessä ja todennäköisyyslaskennassa.