Tilstandvektor

Tilstandvektor er et begrep som brukes i flere disipliner for å beskrive en systems tilstand på et bestemt tidspunkt. I praksis representerer den vanligvis en kolonnevektor som inneholder de variablene som er nødvendige og tilstrekkelige for å forutsi systemets fremtidige atferd under en gitt modell. Begrepet brukes både i tekniske anvendelser, som kontrollteori, og i grunnleggende fysikk, som kvantemekanikk.

I kontrollteori og dynamiske systemer beskriver tilstandvektoren x(t) tilstandens variabler, for eksempel posisjon og fart i et mekanisk system. Systemet kan modelleres med x’ = Ax + Bu og y = Cx + Du, der inngangen u påvirker tilstanden og utgangen y observeres. Valg av tilstandsvariabler er ikke unik, men dimensjonen av tilstandvektoren må være tilstrekkelig for å gjengi systemets fremtidige utvikling og være egnet for observasjon og kontroll.

I kvantemekanikk refererer tilstandvektor ofte til et renhetstilstand i et Hilbertrom, skrevet som |ψ⟩. Tilstandvektoren er normalisert, og tiden utvikler seg via Schrödingerlikningen i form av en enhetsoperator. Ved måling gir Born-regelen sannsynligheten for hvert utfall, p = |⟨φ|ψ⟩|^2. Globale faser har ingen fysisk betydning, og hvis tilstanden er blandet, beskrives den i stedet av en tetthetsoperator ρ i stedet for et enkelt vektor.

Tilstandvektoren er basisavhengig; komponentene endres med valg av representasjon. I posisjonsbasis gir den funksjonen ψ(x); i spinbasis eller andre naturlige baser gir den amplituder til relevante utfallsrom.