Tilamatriisit

Tilamatriisi, Suomessa yleisesti tunnettu densiteettimatriisina, on tilan kuvaus, jota käytetään kvanttimekaniikassa kuvaamaan tilojen tilastista kokonaisuutta. Se laajentaa yksittäisen kvanttitilan kuvaamisen wavefunctionin muodossa ja on keskeinen erityisesti epävarmuuden, sekoittuneisuuden ja mittaustulosten tilastollisen tulkinnan kannalta.

Matemaattisesti tilamatriisi ρ on lineaarinen operaattori, joka toimii muodostamattomalla Hilbertin tilalla. Sen ominaisuuksia ovat: ρ on hermitteellinen (ρ† = ρ), se on puhdas epäsuorasti, eli positiivisesti semidefiniittinen, ja sen jälkihajonta on yksi (Tr(ρ) = 1). Valitussa basisissa ρ_ij = ⟨i|ρ|j⟩, jolloin diagonaalielementit kuvaavat mittaustulosten priorisoitujen perusstanardien todennäköisyyksiä ja poikkielementit osoittavat koherenssielementtejä tilan superpositionien välillä.

Tilamatriisin tulkinta: odotusarvot havaittaville A saadaan kaavasta ⟨A⟩ = Tr(ρA). Puhdas tila tarkoittaa tilaa, jossa ρ^2 = ρ ja Tr(ρ^2) = 1. Sekoitettu tila on enemmistötilanne, jossa Tr(ρ^2) < 1. Puhtauden arvo liittyy tilan koherensseihin ja määrää, kuinka paljon se eroaa sekoitetusta tilasta.

Aika-kehitys: suljetussa systeemissä tilamatriisi seuraa von Neumannin yhtälöä dρ/dt = -(i/ħ)[H,ρ]. Avoin systeemi vaatii suppeamman mallinnuksen, kuten Lindbladin mestari-ehtojen tuottamia dynamikoita, jotka kuvaavat vuorovaikutusta ympäristön kanssa.

Esimerkki: kubiittisessa tilassa ρ = 1/2(I + r·σ), missä σ on Pauli-operatorien setti ja r on Blochin nimittäjä. Vapaa tilanne vastaa |r| = 1, sekotettu tila |r| < 1.

Tilamatriisit ovat keskeisiä kvantti-informaation, mittausten ja monimutkaisempien tilojen, kuten osien välistä kytkentää ja dekooderointia, tutkimuksessa ja laskennassa. Katso myös densiteettimetri, kvanttien tilanja ja Lindbladin master-equations.