Tiheysoperaattorina

Tiheysoperaattorina on tilojen matemaattinen kuvaus käytetyssä kvanttitilakäsitteessä, jossa tilaa ei aina voi kuvata yhdellä puhtaalla tilalla. Tiheysoperaattori ρ kuvaa sekä puhtaita tiloja että tilojen sekoituksia, eli tilajoukkoja, joissa esiintyy useita differentteja tiloja todennäköisyyksillä. Tiheysoperaattori mahdollistaa tilan edustamisen sekä puhtaiden että epäpuhtaiden tilojen yhteydessä.

Tiheysoperaattori ρ on lineaarinen operatori, joka toimii järjestelmän hilbertin tilan H yli. Sen ominaisuudet ovat: ρ on itseadjungi (ρ† = ρ), positiivisesti semidefiniittinen (⟨φ|ρ|φ⟩ ≥ 0 kaikille |φ⟩), ja sen jäljelle on yksi (Tr ρ = 1). Puhtaassa tilassa ρ täyttää ρ^2 = ρ ja Tr(ρ^2) = 1; epäpuhtaassa tilassa Tr(ρ^2) < 1.

Odotusarvot ja mittaukset voidaan laskea tiheysoperaattorin avulla: odotusarvo kohdetta A kohti on ⟨A⟩ = Tr(ρA). Mittausten tulokset määritellään mittasuorana E_k, jolloin p_k = Tr(ρ E_k). Tilojen sekoitukset voidaan esittää ρ = ∑_i p_i |ψ_i⟩⟨ψ_i|, jossa p_i ovat todennäköisyyksiä ja |ψ_i⟩ ovat puhtaita tiloja.

Aihioiden kehitys: suljetussa systeemissä kehitys noudattaa von Neumannin yhtälöä dρ/dt = -(i/ħ)[H, ρ]. Avoimissa järjestelmissä voidaan käyttää dissipaatiota kuvaavia mestakahäiriöitä, kuten Lindbladin muotoa. Osajärjestelmän tiheysoperaattori saadaan osittaisjäljellä ρ_A = Tr_B(ρ).

Tiheysoperaattori on laajasti käytössä kvanttihäviöiden, kvanttikerroittamisen ja tilojen kontekstuaalisessa kuvauksessa, koska se kattaa sekä puhtaat että sekoitetut tilat sekä tilojen evoluution yleisillä laeilla.