Származékok

A származékok a differenciálszámítás alapját képezik, és a függvények helyi változásának ütemét írják le. Ha egy f(x) függvény értéke egy kis dx-nyi x-változás után f(x+dx) - f(x) középértékű arányát vizsgáljuk, a határ f'(x) = lim(dx→0) [f(x+dx) − f(x)] / dx adja meg. Ez a határlépés adja meg a függvény érintőjének meredekségét, vagyis a helyi növekedési sebességet.

A származékok jelölései közül a legismertebb a f'(x) és a df/dx. Többváltozós függvényeknél rész-származékokat és a gradienset használjuk: ∂f/∂xi és ∇f. A származékoknál gyakori alapműveletek közé tartozik a linearitás (af+bg → af'+bg'), a szorzatszabály (fg)' = f' g + f g', valamint a láncszabály (f∘g)' = f'(g(x)) · g'(x).

Származékok példái: ha f(x) = x^n, akkor f'(x) = n x^{n-1}; f(x) = e^x → f'(x) = e^x; f(x) = ln x → f'(x) = 1/x; f(x) = sin x → f'(x) = cos x, míg f(x) = cos x → f'(x) = −sin x. Másodfokú, illetve magasabb rendű származékok megadják a görbe konkavitását és a görbe görbületét.

Geometriai értelmezésben a származék a grafikon érintőjének meredekségét adja meg; fizikailag pedig a helyváltozás vagy más mennyiség helyi üteme, például a sebesség egy pozíció-függvény deriváltjaként. További alkalmazások közé tartozik optimalizálás, mozgáskövetés, gazdasági marginális elemzések és differenciálegyenletek megoldása.

Történetileg a deriváltalapok Newtonhoz és Leibnizhez köthetők, akik fejlesztették a kalkulus alapelveit és a határérték fogalmát.