Skalárfüggvényeknél

A skalárfüggvények olyan függvények, amelyek bemenete általában mértékstandard szerint többdimenziós térben van, kimenete pedig skalárérték, azaz egy szám. Gyakori típusok közé tartoznak egyváltozós függvények f: D ⊂ R → R és többváltozós függvények f: D ⊂ R^n → R, ahol D nyílt vagy zárt részhalmaz lehet. Skalárfüggvényeknél a kimeneti érték gyakran értelmezési vagy költség/fizikai potenciál értéke, és vizsgálható a függvény Fogalom-rendszere, például derivációk, görbék és görbületek segítségével.

Differenciálhatóság és gradient: Ha f diffrenciálható egy pontban a ∈ D, akkor létezik egy lineáris leképezés, amelyhez a Taylor-fejlesztés első rendje igaz. Kifejezetten egy n-dimenziós függvénynél ez a gradient, ∇f(a), amely a részderiváltak vektora. A directional derivatives a gradient skalárvektorral vett belső szorzata, és a Hessian Hf(a) a másodrendű részderiváltakat tartalmazza. Ha a f ∈ C^1, akkor a gradient folyamatos, és a f értéke lineáris közelítéssel írható le.

Kontroll és integrálás: Skalárfüggvények esetén beszélhetünk folytonosságról, integrálhatóságról (Riemann vagy Lebesgue értelemben vett integrálás), valamint helyi és globális minimumok kereséséről. Többváltozós esetben a Lagrange- vagy Hessian-mélység segítségével optimalizálható, míg egyváltozós esetben a tanulás és elemzés elsődleges eszköze a derivált.

Példák és alkalmazások: Példák f(x) = x^2, f(x, y) = x^2 + y^2 vagy f(x) = e^{-x^2}. Alkalmazások közé tartozik a költségfunkciók optimalizálása, fizikai potenciálok számítása, statisztikai veszteségfüggvények és a gépi tanulásban használt célfüggvények. A skalárfüggvények alapvető eszközei a differenciál- és/vagy integrálszámításban.