Skalárfüggvények

A skalárfüggvények olyan függvények, amelyek bemenetre egy vektoros argumentumot vesznek, és kimenetük skalárérték. Általánosan f: Ω ⊆ R^n → R vagy f: Ω ⊆ R^n → C. Ω lehet részhalmaz a térből, például nyílt vagy zárt tartomány, vagy egész R^n. Gyakori példák közé tartozik f(x) = ∑_{i=1}^n x_i^2, f(x) = sin(x_1), vagy f(x) = e^{-||x||^2}, ahol x = (x_1, ..., x_n) és ||x|| a normát jelent.

Tulajdonságok szempontjából a skalárfüggvények gyakran vizsgált típusai a folytonos, deriválható vagy sima (∞-sima) függvények. A diffenzibilitás értelmében f-nek léteznek a részleges deriváltak, és ekkor a gradients ∇f jelöli az elsőrendű deriváltak vektorát, a másodrendű deriváltakból pedig a Hessian-mátrix áll elő. Az optimális problémákban a lokális szélsőértékek helyét a ∇f = 0 legyen kifejezéssel határozzuk meg; a másodrendű deriváltak segítségével meg lehet állapítani, hogy adott pont minimum, maximum vagy saddle pont-e.

Gyakorlati tulajdonságai közé tartozik, hogy skalárfüggvényekkel megfogalmazhatóak mértékek és célfüggvények a matematikában és alkalmazott tudományokban. Működésük és összetételük révén új skalárfüggvények hozhatók létre (például f + g, αf, f ∘ g). Alkalmazási területek közé tartozik az optimalizálás, gépi tanulás, fizika (potenciális energia fogalma), gazdaságtan és más területek, ahol értékelés vagy döntés függvénye a bemenő paramétereknek.