Skaalausfunktio

Skaalausfunktio (scaling function) on funktio φ ∈ L2(R), joka täyttää kaksiskaalauksen periaatteen. Yleinen muoto on φ(t) = ∑_{k∈Z} h[k] φ(2t − k), jossa h[k] ovat skaalauskoeffisientteja. Eri konventiot käyttävät myös muotoa φ(t) = √2 ∑_{k} h[k] φ(2t − k). Skaalausfunktio on multiresolution-analyysin (MRA) keskeinen rakennus; sen avulla määritellään muuttuvia tiloja V_j = span{ φ_{j,k}(t) : k ∈ Z }, missä φ_{j,k}(t) = 2^{j/2} φ(2^j t − k). Näin tilat ovat V_j ⊆ V_{j+1} ja L2(R) voidaan lähestyä näiden tilojen kautta.

Skaalausfunktio on yleensä neliöintegroitu (lupauksia L2), ja sen tarkka tuki sekä normalisointi vaikuttavat käytännön ominaisuuksiin, kuten tiivistykseen ja rekonstruktioon. Ortogonalisuuden tapauksessa Integer-translate φ(t−k) muodostaa vakaata perusjoukkoa V_0:lle.

Esimerkkinä Haarin skaalausfunktio φ(t) on 1, kun t on [0,1), ja 0 muualla. Sen kaksiskaalauksen voidaan ilmaista muodossa φ(t) = φ(2t) + φ(2t − 1) tietyillä konventioilla, mikä tekee siitä yksinkertaisen esimerkin MRA:n ideasta. Yhdessä skaalausfunktion kanssa voidaan määrittää aaltofunktio ψ, jolla luodaan täydellinen aaltofunktiojärjestelmä.

Skaalausfunktio on keskeinen työkalu signaalin ja kuvien analyysissä, tiivistämisessä sekä numeerisissa ja rekonstruktioanalyyseissä, erityisesti wavelet-tekniikoiden pohjana.