Sisätuloavaruudessa

Sisätuloavaruudessa viittaa matemaattiseen tilaan, jossa on määritelty sisätulo-operaatio. Sisätulo on binäärinen operaatio, joka ottaa kaksi vektoria ja palauttaa skalaarin. Se yleistää tutun pistetulon käsitteen moniulotteisiin avaruuksiin. Sisätulo antaa tavan mitata vektoreiden välistä "samankaltaisuutta" tai "ortogonaalisuutta" ja määritellä avaruuden pituuden ja kulmien käsitteet.

Tärkeimmät ominaisuudet, jotka sisätulon tulee täyttää, ovat: lineaarisuus ensimmäisen argumentin suhteen, symmetrisyys (tai itseliittoisuus kompleksisessa tapauksessa) ja positiivinen definiittisyys. Lineaarisuuden ansiosta sisätulo käyttäytyy ennustettavasti skaalattaessa ja yhdistettäessä vektoreita. Symmetrisyys takaa, että vektorin järjestyksellä ei ole merkitystä sisätulon laskemisessa. Positiivinen definiittisyys tarkoittaa, että vektorin sisätulo itsensä kanssa on aina ei-negatiivinen, ja nolla vain, jos vektori on nollavektori.

Sisätuloavaruudet ovat perustavanlaatuisia monilla matematiikan ja fysiikan aloilla. Niitä käytetään esimerkiksi kvanttimekaniikassa tilojen kuvaamiseen, signaalinkäsittelyssä signaalien vertailuun ja approksimointiin, sekä lineaarialgebrassa ortogonaalisten kantojen rakentamiseen ja projektioiden laskemiseen. Erityistapauksia sisätuloavaruuksista ovat euklidiset avaruudet, joissa käytetään tuttua pistetuloa.