Sisätuloavaruudella

Sisätuloavaruudella viitataan vektoriavaruuteen, jossa on määritelty sisätulo. Sisätulo on operaatio, joka ottaa kaksi vektoria ja palauttaa skalaarin. Se on yleistys pistetulosta, joka tunnetaan euklidisista avaruuksista. Sisätulo antaa tavan mitata vektoreiden välistä "kulmaa" ja niiden "pituutta" tai "normia".

Sisätuloavaruudella on monia tärkeitä ominaisuuksia. Se on lineaarinen ensimmäisen argumenttinsa suhteen, ja sen toinen argumentti on konjugaattilineaarinen. Lisäksi sisätulo on positiivisesti definiitti, mikä tarkoittaa, että nollavektorin sisätulo itsensä kanssa on nolla, ja minkä tahansa muun vektorin sisätulo itsensä kanssa on positiivinen. Nämä ominaisuudet tekevät sisätuloavaruudesta keskeisen käsitteen monilla matematiikan ja fysiikan aloilla.

Sisätuloavaruuksia käytetään monissa sovelluksissa. Esimerkiksi ne ovat perusta ortonormaaleille kannoille, jotka yksinkertaistavat monia laskelmia. Ne ovat myös olennaisia funktionaalianalyysissä, jossa funktioita käsitellään ikään kuin ne olisivat vektoreita ääretönulotteisessa sisätuloavaruudessa. Sovelluksia löytyy myös kvanttimekaniikasta, signaalinkäsittelystä ja tilastotieteestä.