Satulapisteet

Satulapisteet ovat keskeinen käsite monissa muuttujien optimoinnin tehtävissä. Ne ovat pisteitä, joissa funktion gradientti on nolla, mutta jotka eivät ole paikallisia minimejä tai maksimeja. Toisin sanoen satulapisteessa funktio kasvaa joillakin suunnilla ja laskee toisilla.

Luokittelu tapahtuu usein toisen kertaluvun testin avulla. Olkoon f: R^n -> R ja x* piste, jossa grad f(x*) = 0. Hessian-matriisi H = ∂^2f/∂x_i∂x_j( x* ) määrittää luokituksen: jos H on positiivisesti määritelty, x* on paikallinen minimi; jos H on negatiivisesti määritelty, x* on paikallinen maksimi; jos H on epädefiniitti, x* on satulapiste. Semidefinite-Hessian ei aina riitä luokitukseen, vaan tarvitaan mahdollisesti korkeampien derivaattojen tarkastelua.

Esimerkki: f(x,y) = x^2 - y^2. Pisteessä (0,0) gradientti on (0,0). Hessian on diag(2, -2), joka on epädefinite, joten (0,0) on satulapiste. Arvo on f(0,0) = 0, ja f saa sekä positiivisia että negatiivisia arvoja lähiympäristössään.

Satulapisteet esiintyvät laajasti optimoitavissa ongelmissa ja niiden tutkiminen liittyy sekä algoritmisten haasteiden että dynamiikan stabiliteetin tarkasteluun. Ne voivat toimia paikkoina, joissa havaittu ratkaisu ei ole paikallinen tai globaali optimi, ja ne voivat näkyä myös peliteoreettisissa konteksteissa minimointi- ja maksimointipelin ratkaisuissa.