Sannsynlighetstetthet

Sannsynlighetstetthet beskriver hvordan sannsynligheten er fordelt over verdier av en kontinuerlig tilfeldig variabel. Hvis X har en tetthetsfunksjon f_X, blir sannsynligheten for at X ligger i intervallet (a,b) gitt av P(a < X < b) = ∫_a^b f_X(x) dx. Tettheten er alltid ikke-negativ, og den normale betingelsen er at den integrerer til 1 over hele sitt domene: ∫_{-∞}^{∞} f_X(x) dx = 1. Sannsynlighetstettheten er med hensyn til Lebesgue-målingen, og verdien av f_X på et enkelt punkt er ikke i seg selv en sannsynlighet.

Forbindelsen til kumulativ sannsynlighet er F_X(x) = P(X ≤ x) = ∫_{-∞}^x f_X(t) dt. Dersom F_X er differentiabel, er f_X = dF_X/dx.

Eksempelene: Uniform for X i [0,1] har tettheten f_X(x) = 1 for x i [0,1], og 0 ellers. Normalfordelingen med standardavvik 1 har tettheten f_X(x) = (1/√(2π)) e^{-x^2/2}. Eksponentielle fordeler har f_X(x) = λ e^{-λx} for x ≥ 0.

En tetthet beskriver sannsynligheten per enhet av X; derfor har den enheter av 1/enkelt enhet av X. Ved monotont transformasjon Y = g(X) gjelder f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y)) · |d/dy g^{-1}(y)|.

Noen fordelinger har også et diskret massepunkt; totale sannsynlighet er da summen av massen og integralet av tettheten over det relevante området.