Sandsynlighedstætheden

Sandsynlighedstætheden, ofte kaldet tætheden til en kontinuert tilfældig variabel, er en funktion f: R → [0, ∞), der beskriver sandsynligheden for at variablen X ligger i et given interval. For alle reelle a og b med a ≤ b gælder P(a ≤ X ≤ b) = ∫_a^b f(x) dx. Den samlede sandsynlighed er normaliseret, så ∫_{-∞}^{∞} f(x) dx = 1, og F(x) = P(X ≤ x) er den kumulative sandsynlighedsfunktion, som satisfies F'(x) = f(x) hvor denne afledede eksisterer.

En tætheden er ikke en sandsynlighedsværdi i sig selv, men en tæthed, der når man integrerer over et interval giver sandsynligheden for at X ligger i dette interval. Den er ikke negativ, dvs. f(x) ≥ 0 for alle x, og den har enheder der svarer til omvendt enheden af X. Sandsynlighed for at X tager en præcis værdi er altid 0 for en kontinuert variabel.

Eksempler på tætheder inkluderer uniformt fordelt over intervallet [a, b], hvor f(x) = 1/(b−a) for x i [a, b] og 0 ellers; standard normal tætheden f(x) = (1/√(2π)) e^(−x^2/2); og en eksponentiel tætheden f(x) = λ e^(−λx) for x ≥ 0 og 0 ellers. For multivariate variable beskrives en joint tætheden f(x, y, ...) og marginals fås ved integration over de øvrige variabler. Uafhængighed er tilstand, når joint tætheden faktoriserer som produkt af marginals. Forventning og varians udtrykkes som E[X] = ∫ x f(x) dx og Var(X) = E[X^2] − E[X]^2, i passende indre varianter.