SVDdekompositsioonid

SVDdekompositsioonid on lineaaralgebras kasutatav viis igaaigne ruutpõhise maatriksi A ∈ Rm×n lagundamiseks. Leidub U ∈ Rm×m ja V ∈ Rn×n, mis on ortogonaalsed ning Σ ∈ Rm×n on diagonaalne kujund, kus diagonaalil paiknevad mitte-negatiivsed singulaarväärtused σ1 ≥ σ2 ≥ ... ≥ σr > 0 ning ülejäänud elemendid on 0. Selline A = U Σ V^T kehadab A vektorite ja kaalude kujul, kus vasakul asuvad vasak-singulaarvektorid ja paremal paremad singulaarvektorid.

Täis-SVD puhul sisaldavad U ja V kõiki vektorid ning Σ on suurusega m×n. Kompakt (või skinny) SVD kasutab ainult r singulaarvektori ja pealkirjadega seotud skaalarvud: A = U_r Σ_r V_r^T, kus U_r ∈ Rm×r, V_r ∈ Rn×r ja Σ_r ∈ Rr×r, ning r on A mitte-nullsingulaarväärtuste arv. Singulaarväärtused σi on seotud A^T A ja A A^T identiteetidega: σi^2 on A^T A ning A A^T spektrovaartused ning vasak- ja paremvõnk on nende vastavate eigenvektorid.

Arvutamine toimub tavaliselt A^T A või A A^T jaoks ning kasutatavate algoritmideks on Golub–Kahan bi-diagonaalatsioon, QR-algoritm ja suurte andmete korral juhuslik SVD. SVD võimaldab ka Moore–Penrose pöördviiba A^+ = V Σ^+ U^T, kus Σ^+ inverteerib mitte-nullsingulaarväärtused.

Rakendused hõlmavad muutuste vähendamist (PCA), andmekaotuse ja müra vähendamist, pilditöötlust, kompressiooni ning soovitussüsteeme. SVDdekompositsioonid on seega oluline tööriist mitmetes tehisintellekti ja andmeteaduse rakendustes.