Részhalmazokból

Részhalmazokból is a kifejezés a halmazelméletben gyakran használt fogalomkészletre utal, amely a részhalmazokból történő készítésre, összegyűjtésre vagy kiválasztásra vonatkozik. A részhalmaz (A ⊆ X) olyan halmaz, amelynek minden eleme megtalálható egy nagyobb halmazban, például egy X halmaz részhalmaza. A részhalmazokból történő munkában központi szerepet játszik a halmazok családja és ezek művelete.

A részhalmazokra vonatkozó alapesemények közé tartozik a unió és a metszet. Ha 𝒜 egy család a részhalmazokból, akkor a ⋃𝒜 a rá vonatkozó unió, azaz az összes olyan x elemből áll, amely legalább az egyik A ∈ 𝒜 részhalmazhoz tartozik. A ⋂𝒜 a metszet, amely azokat az elemeket tartalmazza, amelyek minden A ∈ 𝒜 részhalmazban benne vannak. Ezek a műveletek például akkor fontosak, ha 𝒜 olyan részhalmazokból áll, amelyeket egy adott tulajdonság szerint választunk ki.

A tömbösített konstrukciók közvetlen példái a részhalmazokból származó halmazok: a powerset, azaz X összes részhalmazainak halmaza, a P(X). Emellett gyakran beszélünk olyan halmazokról, amelyek kizárólag olyan részhalmazokat tartalmaznak, amelyek adott tulajdonságot teljesítenek (például minden k elemű részhalmazok vagy olyan részhalmazok, amelyek tartalmaznak egy adott elemet). Így a részhalmazokból történő megközelítések alapvető eszközei a konstrukciók, bizonyítások és klasszifikációk a halmazelméletben és kapcsolódó területeken.