Rungeilmiön

Rungeilmiö on numeerisen analyysin ilmiö, jossa korkeaa asteen polynomilla tehtävä interpolaatio tietyllä välillä tuottaa suuria virheitä reuna-alueilla, vaikka alkuperäinen funktio olisi sileä. Ilmiö esiintyy erityisesti, kun interpolointi suoritetaan tasaisesti jaketuilla solmuilla tai muulla yksinkertaisella, ei-optimoinnilla valitulla pistejoukkolla.

Nimi juontuu Carl Rungen tutkimuksista 1900-luvun ensimmäisellä puoliskolla. Runge osoitti, että tavallisten tasaisesti jakautuneiden solmujen käyttäminen polynomien interpoloimiseksi tietyille funktioille voi aiheuttaa kohtalokkaan suurta virhettä intervalin reuna-alueilla, kun polynomin astetta kasvatetaan. Tämä on tunnettu Runge-fenomenina, ja termiä käytetään suomenkielisessä kontekstissa usein Rungeilmiön synonyymina.

Ilmiön syntymekanismi liittyy interpolantin käyttäytymiseen sekä solmujen sijoitteluun että kohdefunktion ominaisuuksiin. Tasaisesti jakautuneet solmut aiheuttavat suuria kiihtymisreaktioita polynomin reunoille tietyissä tapauksissa, erityisesti kun funktio on melko nopealiikkeinen reunoja kohti. Tämä johtaa siihen, että interpolantti ei lähestyFunktiota tasaisesti koko välillä, vaan reunat voivat vääristyä huomattavasti.

Käytännön ratkaisut sisältävät ei-tasaisen solmujakauman käyttämisen, kuten Chebyshev-solmuja, paloitellun interpoloinnin tai splinien hyödyntämisen sekä barycentrum-pohjainen interpolointi. Näin voidaan lieventää Rungeilmiön vaikutuksia ja parantaa interpoloinnin konvergenssia.

Rungeilmiötä käsitellään laajasti numeerisessa analysisissa ja tiedon graafisessa esittämisessä, jossa ymmärrys solmuvalinnan vaikutuksesta virheisiin on keskeistä. Liittyviä aiheita ovat Runge-fenomeni, polynom interpolointi, Chebyshev-solmut sekä splini- ja barycentrinen interpolointi.