Rotasjonsmetodene

Rotasjonsmetodene er en gruppe numeriske metoder som brukes til å diagonal- eller tridiagonaliser en matrise ved hjelp av sekvenser av planrotasjoner. Hovedideen er å anvende små rotasjoner i planar mellom to koordinater slik at bestemte avstander blir null, uten å forstyrre resten av matrisen unødvendig. Gjentatte rotasjoner fører etter hvert til en nær-diagonal matrise, og i mange tilfeller til egenverdier og egenvektorer.

Jacobi-rotasjonsmetoden er den mest kjente varianten og brukes primært til å finne egenverdier og egenvektorer til virkelige, symmetriske matriser. I metoden velges parret (p,q) som har størst off-diagonal element, og en rotasjon i planet spennet av indeksene p og q eliminerer a_pq. Gjenta prosessen for ulike par, ofte i et fast rute (kjedelig eller syklisk), til alle off-diagonal-elementer er tilnærmet null. Metoden konvergerer mot en diagonal matrise der diagonal-elementene er egenverdiene, og corresponding eigenvektorer finnes ved akkumulering av rotasjonene.

Givens-rotasjoner er en annen viktig form for planrotasjoner som brukes i QR-dekomponering og i ulike varianter av rotasjonsmetodene. En Givens-rotasjon er en enkel enhetlig rotasjon i planet spennet av to koordinater og brukes til å skape zeros i spesifikke posisjoner i en matrise før eller i løpet av en større faktoriserings- eller diagonaliseringsprosess.

Egenskaper ved Rotasjonsmetodene inkluderer stabilitet ved behandling av symmetriske matriser og mulighet for parallellisering i flere rotasjoner samtidig. De er ofte mindre effektive for svært store matriser sammenlignet med andre eigenverdialgoritmer som QR-algoritmen, men tilbyr tydelig konseptuell enkelhet og god numerisk robusthet for passende problemstørrelser.