Reunaolosuhteet

Reunaolosuhteet ovat ehtoja, jotka määrittelevät, miten ratkaisu eräälle differentiaaliyhtälönä tai osittaisesta differentiaaliyhtälöstä muodostetulle ongelmalle käyttäytyy sen rajalla tai sen lähialueilla. Ne ovat välttämättömiä, jotta ongelma on hyvin määritelty ja ratkaisu on olemassa sekä yksiselitteinen.

Yleisimpiä reunaolosuhteiden tyyppejä ovat Dirichlet-, Neumann- ja Robin-olosuhteet. Dirichlet-olosuhteissa määritellään ratkaisun arvo rajalla, esimerkiksi u(r) = g rajalla. Neumann-olosuhteissa raja-arvo määrittelee normaalin suunnan derivaatan, kuten ∂u/∂n = h rajalla, mikä vastaa esimerkiksi tiedetyn lämpötilaman lämpövirralle. Robin-olosuhteissa yhdistetään sekä funktion arvo että sen normaalin derivaatan lineaarinen yhdistelmä, esimerkiksi αu + β∂u/∂n = g rajalla. Lisäksi voidaan käyttää periodisia reunaolosuhteita, joissa vastakkaisten rajojen arvot ovat yhteneväisiä toistensa kanssa, sekä asymptotisia eli äärettömyyteen liittyviä ehtoja, joissa ratkaisu käyttäytyy rajalla tietyllä tavoin kasvaen tai pienentyen.

Reunaolosuhteet voivat olla homogeenisia tai inhomogeenisia. Ne voivat koskea suljettua pintaa tai avonaisen alueen ulkorajaa sekä tilanteita, joissa ongelmalla on sekä alku- että reunaehdot (alusta- eli alkuperusteiset sekä reunoista tulevat ehdot). Oikein valitut reunaolosuhteet vaikuttavat ratkaisun suunnan, vakauden ja yksiselitteisyyden kannalta sekä käytännön numeerisessa ratkaisemisessa.