Raumspiegelung

Raumspiegelung bezeichnet in der Geometrie eine Spiegelung des gesamten Raums an einer Hyperebene oder, allgemein, eine Spiegelung des Raums, die jeden Punkt auf seinen Spiegelpunkt abbildet. In drei Dimensionen entspricht eine Raumspiegelung der Spiegelung an einer Ebene und kehrt die Orientierung des Systems um.

Formell ist eine Spiegelung s_H an einer Ebene H = {x ∈ R^n | n^T x = d} definiert durch s_H(x) = x - 2 (n^T x - d) / (n^T n) n. Sie ist eine Isometrie mit Determinante -1 und eine Involution (s_H^2 = Identity). Eine spezielle Variante ist die Zentralspiegelung an einem Punkt c: x' = 2c - x.

Eigenschaften: Raumspiegelungen sind Abbildungen, die Abstände erhalten und die Orientierung umkehren. Die Verkettung zweier Ebenenspiegelungen ergibt je nach Lage der Ebenen eine Rotation, Translation oder eine Kombination; insgesamt erzeugen Spiegelungen die Gruppe der Raumspiegelungen, eine Untergruppe der orthogonalen Gruppe O(n).

Anwendungen finden sich in der Geometrie und Computer grafik, wo Spiegelungen zur Erzeugung von Symmetrie und Reflexionen genutzt werden. In der Architektur und Kunst dienen Spiegelungen der ästhetischen Gestaltung und Raumwirkung. In der Physik und Kristallographie treten Spiegelungssymmetrien als Bestandteil von Raumgruppen auf, die das Verhalten von Kristallen und anderen Strukturen beschreiben.

Historisch haben Spiegelungen eine zentrale Rolle in der Entwicklung der Geometrie und der Gruppenlehre gespielt und bleiben ein grundlegendes Werkzeug zur Analyse von Symmetrien im Raum.