Rappresentabili

Rappresentabili è un termine usato in matematica, in particolare in teoria delle categorie e in geometria algebrica, per descrivere oggetti o funzioni che possono essere rappresentati in modo canonico da un altro oggetto.

In teoria delle categorie, un functor F: C^op → Set è detto rappresentabile se esiste un oggetto X in C tale che F ≅ Hom_C(-, X). In tal caso X è chiamato oggetto rappresentante e F è detto un functor rappresentabile rappresentato da X. Il lemma di Yoneda offre una corrispondenza naturale Nat(Hom_C(-, X), F) ≅ F(X), dimostrando che i functor rappresentabili sono completamente determinati dall’oggetto rappresentante.

In geometria algebrica e contesti correlati, si parla di rappresentabilità di un functor F: Sch^op → Set. Se esiste uno schema S tale che F ≅ Hom_Sch(-, S), allora F è rappresentabile e S è lo schema rappresentante. In estensioni più generali, si incontrano rappresentabilità da spazi algebrici o da stack, utili per moduli o problemi di parametri che non si prestano a una rappresentazione da parte di uno schema singolo.

Esempi: il functor Hom_C(-, X) è sempre rappresentabile da X. Qualsiasi oggetto in C determina un functor rappresentabile tramite la sua Hom-funzione, e al contempo una funzione naturale da Hom_C(-, X) a F corrisponde a un elemento F(X) universale. Se un moduli o problema di parametrizzazione non è rappresentabile da uno schema, si ricorre spesso a strutture più generali come gli spazi o le stack per descriverlo.