Radiaalifunktioihin

Radiaalifunktioihin viitataan funktioihin f: R^n → R, jotka riippuvat ainoastaan etäisyydestä origosta. Toisin sanoen on olemassa φ:[0, ∞) → R siten, että f(x) = φ(||x||) kaikilla x ∈ R^n, missä ||x|| on Euclidea etäisyys origosta. Tällaiset funktiot ovat kiertymissymmetrisiä: f(Rx) = f(x) kaikille rotaatioille R ∈ SO(n).

Ominaisuudet: Jos f(x) = φ(r) ja r = ||x|| > 0, niin grad f(x) = φ'(r) x / r. Laplacian: ∆f(x) = φ''(r) + (n − 1) φ'(r)/r (r > 0). Näin f on C^2-ääriin saakka, ja origossa lisäehdot voivat vaatia φ:n säännöllisyyttä.

Esimerkkejä: f(x) = e^{−a||x||} ja f(x) = e^{−||x||^2} (gauss), f(x) = ||x||^2, f(x) = 1/(1 + ||x||^2). Näin ollen φ voidaan valita monin tavoin eri sovelluksiin.

Sovellukset ja yhteydet: Radiaalifunktioita käytetään kiertymissymmetrisissä ongelmissa ja ne esiintyvät potentiaaliteoriassa sekä Laplace- ja Poisson-yhtälöiden ratkaisuissa sekä Greenin funktioissa. Fourier-muunnos säilyttää radialisuuden; radiaalien funktioiden muunnos voidaan laskea Hankel- eli Bessel-kertoineen, mikä yksinkertaistaa analyysiä usein n-dimensioissa.

Yhteenveto: Radiaalifunktioihin kuuluu funktioita, jotka riippuvat vain etäisyydestä origosta ja ovat siten kiertymissymmetrisiä. Tämä rakenne tekee niistä keskeisiä sekä teoreettisessa analyysissa että monissa sovelluksissa.