PythagorasSatz

Der Pythagoras-Satz, auch Satz des Pythagoras, ist ein zentrales Theorem der euklidischen Geometrie. In einem rechtwinkligen Dreieck gilt die Summe der Quadrate der beiden Katheten gleich dem Quadrat der Hypotenuse. Mit a und b als Katheten und c als Hypotenuse lautet die Beziehung: c^2 = a^2 + b^2. Der Satz lässt sich als Distanzformel in der Ebene verstehen und gilt in jedem n-dimensionalen Raum für rechtwinklige Strecken als Summe der Quadrate der einzelnen Komponenten.

Historisch wird der Satz dem antiken Griechenland zugeschrieben; es gibt jedoch Hinweise darauf, dass babylonische und indische Mathematiker ähnliche Ergebnisse kannten. In Euclids Elements findet sich eine Beweisführung. Über die Jahrhunderte wurden zahlreiche Beweise entwickelt; Schätzungen sprechen von über hundert verschiedenen Beweisen.

Generalisiert wird der Satz durch den Kosinussatz, der c^2 = a^2 + b^2 − 2ab cos(C) auch für nicht-rechte Winkel liefert. Zudem führen Pythagoreische Tripel – ganze Zahlen a, b, c mit a^2 + b^2 = c^2 – zu wichtigen Beispielen in der Zahlentheorie; eine klassische Generierung erfolgt durch Euclids Formel a = m^2 − n^2, b = 2mn, c = m^2 + n^2 (m > n, ganzzahlig).

Anwendungen finden sich in Architektur, Vermessung, Informatik und Physik. In nicht-euklidischer Geometrie ändern sich die Beziehungen; beispielsweise auf der Kugel verwendet man Kugeltrigonometrie statt des einfachen Quadratsatzes.