Puoliintegraali

Puoliintegraali on osa fraktioan laskentaa (fractional calculus) ja kuvaa integraation tilausluvun arvoa 1/2. Yleisesti puoliintreaali määritellään Riemann–Liouvillen tai Caputon versiolla; käytännössä useimmiten käytetty muoto on Riemann–Liouvillen puoli-integraali. Tietyllä aikavälillä t ≥ 0 sen funktiolle f antaa uuden funktion J^{1/2} f, jonka määritelmä on J^{1/2} f(t) = (1/Γ(1/2)) ∫_0^t (t − τ)^{1/2 − 1} f(τ) dτ. Koska Γ(1/2) = √π, voidaan kirjoittaa J^{1/2} f(t) = (1/√π) ∫_0^t (t − τ)^{-1/2} f(τ) dτ.

Puoliintegraali voidaan tulkita konvoluutiona kernelin k(t) = t^{-1/2}/√π kanssa: (J^{1/2} f)(t) = (k * f)(t). Tällainen operaatio on Volterra-tyyppinen ja sillä on muistivaikutus: sen vaikutus kohdistuu sekä ajallisesti että säännöllisesti, usein parantaen jonkin verran funktion säännöllisyyttä.

Inversio ja yhteydet muihin operaatioihin: Puoli-integraali on puolidraivin (inversioperiaatteen) osatekijä; riittävillä ehdoin D^{1/2} J^{1/2} f = f, jolloin puoli-integraali toimii toisen osan puoliluokan derivaationa. Laplace'n transformin avulla L{J^{1/2} f}(s) = s^{-1/2} F(s), mikä helpottaa ratkaisuja aikafunktioihin ja integrobmenoihin liittyvissä ongelmissa.

Käyttökohteita ovat muun muassa viskoelastisuus, anomalinen diffuusio, signaalin käsittely sekä kontrolliteoria, missä puoli-integraali esiintyy osana epäsäännöllisiä tai muistiperustaisia järjestelmiä. Puoliintegraalin käsite auttaa mallintamaan järjestelmiä, joissa muisti ja/ tai monitahoinen vaste on oleellinen.