Puoliintegraaleja

Puoliintegraaleja tarkoittaa matemaattisessa analyysissä puolentoista kerroksen tai orderin integroitumista, jossa integrointi ei ole kokonaisluku. Yleisesti puoli-integraali viittaa ordersorderin (yleisimmin 1/2) omaavaan fractional calculus -operaatioon, joka laajentaa tavanomaisen euklidisen integraation käsitettä.

Määritelmässä käytetään usein Riemann–Liouville -mallia. Puoli-integraali I^{1/2}_a f(t) määritellään

I^{1/2}_a f(t) = (1/Γ(1/2)) ∫_a^t (t−τ)^{−1/2} f(τ) dτ,

kun f on riittävän hyvin käyttäytyvää tai integroitavaa, ja t∈(a, b]. Γ denotoi gammafunktiota (Γ(1/2) = √π). Tässä a on kiinteä aloituspiste.

Ominaisuudet. Puoli-integraaleilla on lineaarisuus, ja ne noudattavat semigruppia: I^{p}_a I^{q}_a f = I^{p+q}_a f, kun p,q > 0 ja funktio on määritelty riittävästi. Puoli-integraali syntyy usein yhdistämällä useita kerroksia: kaksi kertaa puoli-integraali vastaa tavallista integraatiota (I^{1/2}_a I^{1/2}_a f ≈ I^{1}_a f), rajoitusten mukaan.

Esimerkki. Jos f(t)=1 ja aloituspiste on a, I^{1/2}_a 1(t) = (2/√π)√(t−a). Tämä osoittaa, miten puoli-integraali muuttaa jatkuvan funktion nousevaksi, enemmänkin kuin lineaarisesti.

Sovellukset. Puoli-integraaleja käytetään epälineaaristen ja muistivaikutteisten järjestelmien mallintamisessa, kuten muun muassa palautuvissa ja viskoelastisissa aineissa sekä epäorgaanisissa ja pelkistävän diffuusion malleissa. Niitä käytetään myös differentiaaliyhtälöiden ja signaalinkäsittelyn ratkaisuissa sekä laajemmassa fractional calculus -kontekstissa, jossa sekä käsitteelliset että numeeriset menetelmät ovat tutkimuksen kohteena.

Näkökohtia. Puoli-integraaleja voi lähestyä myös muiden määritelmien, kuten Caputo- tai Grünwald–Letnikov -tyyppisten, kautta. Niiden yhteydessä puhutaan usein alkuarvoista, laukaisusta ja käyttäytymisen tarkastelusta erilaisten sovellusalueiden kontekstissa.

---