Projektsioonid

Projektsioonid on lineaarsete transformatsioonide klass, mis kirjeldab, kuidas iga vektor x ruumis V projitseeritakse määratud alamruumi W. Tegelikult on projektsioon P: V → V lineaarne transformatsioon, mille jaoks kehtib P^2 = P ja mille image on W.

Ortogonaalne projektsioon W-le on eriline projektsioon, mille puhul ruum V saab dekomponeerida x = w + w⊥, kus w ∈ W ja w⊥ ∈ W⊥, ning P(x) = w. Selle projektsiooni korral on P^T = P ja P on idempotent, ning see määrab vektori lähima liikme W-s.

Obliintr Projektsioon on projektsioon, mille puhul V = W ⊕ U ja P(x) = w, kui x = w + u, kuid P ei ole tingimata sümmeetriline.

Maatriksi esitus: kui W = span{a1,...,ak} ja A on n×k veergudega maatriks, on ortogonaalse projektsiooni P W i jaoks P = A(A^T A)^{-1}A^T. Kui W = span{u} ühe unitaarse vektoriga u, siis P = uu^T.

Rakendused hõlmavad geomeetriat ja ruumi eraldamist, arvutigraafikat (3D→2D projektsioon), statistikat ja andmeanalüüsi (PCA, vähendamine) ning inseneri- ja füüsikaprobleeme.