Probabilitetstettheten

Probabilitetstettheten, også kaldet tæthedsfunktionen, er en funktion f, der beskriver sandsynligheden for, at en kontinuert tilfældig variabel X antager værdier i et givent område. For alle x er f(x) ≥ 0, og integralet af f over hele real-Lænet er 1: ∫_{-∞}^{∞} f(x) dx = 1. Sandsynligheden for, at X ligger i intervallet [a,b], er P(a ≤ X ≤ b) = ∫_a^b f(x) dx. Den kumulative fordelingsfunktion F er givet ved F(x) = ∫_{-∞}^x f(t) dt, og F går fra 0 til 1.

Densityen beskriver sandsynligheden i et kontinuert rum og er med hensyn til Lebesgue-målingen; den giver ikke en sandsynlighed for enkelte punkter, men hele intervaller. Den tilhørende sandsynlighed for et interval fås ved integration af f over dette interval.

Momenter og fordelingsrelationer: Forventningen er E[X] = ∫_{-∞}^{∞} x f(x) dx, og variansen er Var(X) = ∫_{-∞}^{∞} (x - μ)^2 f(x) dx, hvor μ = E[X]. Den kumulative funktion og tætheden er nært forbundne gennem F’(x) = f(x) hvor f er differentiabel.

Eksempler: Normalfordelingen med middelværdi μ og standardafvigelse σ har densitet f(x) = (1/(σ√(2π))) exp(-(x-μ)^2/(2σ^2)). Uniform fordeling på [a,b] har densitet f(x) = 1/(b-a) for x ∈ [a,b], og 0 ellers.

Ændring af variabler: Hvis Y = g(X) er en bijektion, er densiteten f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y)) · |d/dy g^{-1}(y)|. Generelt anvendes Jacobian ved ikke-lineære transformeringer.