Primidealerne

Primidealerne er sentrale begreper i kommutativ algebra. I en kommutativ ring R med enhet defineres en primideale P som en ordentlig ideell slik at hvis produkter ab ligger i P, så er enten a ligger i P eller b ligger i P for alle a, b i R.

En primideale P gir at den faktoriserte ringen R/P er en integral domene; hvis P også er maksimal, blir R/P en kropp. Dette gjør primidealer til en naturlig generalisering av begrepet primtall til ringteori og knytter algebraiske egenskaper til strukturelle egenskaper i R.

Mengden av alle primidealer i R kalles Spec(R) eller primspektrumet til R. Den har en naturlig topologi, Zariski-topologien, der lukkede mengder er definert av ideeller I ved V(I) = { P i Spec(R) | I ⊆ P }. Under denne topologien reflekterer Spec(R) variasjonen av de irreducible geometriske underrommene i den tilsvarende algebraiske modellen.

Forholdet til radikaler: radikalen av en ideell I er ∩_{P ⊇ I} P, og dermed er √I likt mønsteret av alle primidealer som inneholder I. Nilradikalet Nil(R) er lik ∩_{P ∈ Spec(R)} P og tilsvarer ∼√(0). Krull-dimensjonen til R er definert som supremum av lengder av kjeder av primidealer i R. I Noetherian ringer gir Spec(R) et Noetherian topologisk rom.

Eksempler: I ringen Z er primidealer (0) og (p) for primtall p; (p) er også maximal. I polynomringen k[x] over en felt k er primidealer enten (0) eller (f) der f er irreducibelt; disse er også maximal.

Anvendelser: primidealer er viktige i algebraisk geometri, ringteori og modulteori, blant annet gjennom koblingen mellom primidealer, spektralpunkter og associerte primes i moduler.