Potensialfunksjoner

Potensialfunksjoner er skalarfelt som beskriver hvordan en vektorisk felt kan uttrykkes som gradienten av en skalar. Hvis en vektorisk felt F er konservativ, finnes en potensialfunksjon φ slik at F = ∇φ (eller ofte F = −∇U når φ tolkes som potensiell energi U). En viktig konsekvens er at linjeintegralet av F mellom to punkter blir uavhengig av vei, og at sirkulasjonen rundt en lukket kurve er null.

Eksistens og egenskaper: For glatte felt i et enkeltforbundet domene er kriteriet for å være konservativ at rotasjonen (curl) er null, ∇ × F = 0. Potensialen er ikke unik; en additiv konstant endrer ikke feltet. I områder uten kilder eller singulærpunkter tilfredsstiller potensialet Laplaces likning, mens nær kilder gir Poissons likning.

Eksempler og anvendelser: I klassisk mekanikk er potensiell energi sentral for å beskrive konservative krefter. I elektrostatikk og gravitasjon beskriver elektrisk og gravitasjonspotensial feltets styrke; disse potensialene brukes ofte i løsning av Poissons og Laplaces likninger. I andre fagfelt brukes begrepet analogt: i stabilitetsteori fungerer Lyapunov-funksjoner som potensialmål for systemets tilstand, og i algoritmeteori gir potensialmetoder mål for framgang. I felt med ikke-null curl brukes vektorpotensialer (A slik at B = ∇ × A) i stedet for skalar potensial.

Begrepet er grunnleggende i vektoranalysen og tverrfaglig i både teori og anvendelser.