Posloupností

Posloupností (nebo sekvencí) se v matematice obvykle rozumí funkce z množiny přirozených čísel N do cílové množiny A, nejčastěji do reálných čísel R. Třetí člen posloupnosti označujeme a_n, kde n patří do N a lze jej zapisovat jako n-tý člen. Indexování bývá n = 1, 2, 3, ... nebo n ≥ 0.

Základní pojmy tvoří konvergence, limitu a divergenční chování. Říkáme, že a_n konverguje k L ∈ R, pokud pro každé ε > 0 existuje přirozené N takové, že pro všechna n ≥ N platí |a_n − L| < ε. Pokud taková čísla L neexistuje, posloupnost konverguje jinak, tedy diverguje.

Subposloupnost je posloupnost vzniklá volbou podřady indexů n_k, kde n_1 < n_2 < ... a nová posloupnost je (a_{n_k}).

Monotone posloupnost má neměnící se trend: může být monotone neklesající nebo monotone klesající. Pokud je zároveň omezená, existuje její limita.

Důležité věty a pojmy zahrnují Bolzano–Weierstrassovu větu: každá omezená posloupnost v R má konvergentní podposloupnost. Kritérium Cauchy říká, že v reálných číslech posloupnost konverguje právě tehdy, když je Cauchy.

Příklady: a_n = 1/n konverguje k 0. a_n = (−1)^n nekonverguje, ale má podposloupnosti konvergující k 1 a k −1.

Ve všeobecném pojetí lze posloupnosti definovat i v metrických prostorech; konvergence se definuje pomocí metrické vzdálenosti d(x_n, x) → 0. Limsup a liminf popisují zpřesněné limity posloupnosti.