posloupnosti

Posloupnost (též sekvence) je základní pojem v matematice. Je to uspořádaná nekonečná posloupnost prvků z množiny A, často z reálných čísel. Formálně je posloupnost definována jako funkce a: N → A, kde N = {1, 2, 3, …} a její n-tý člen označujeme a_n.

Posloupnost konverguje k hodnotě L, pokud pro každé ε > 0 existuje přirozené číslo N takové, že pro všechna n ≥ N platí |a_n − L| < ε. L je jedinečná. Pokud limita neexistuje, hovoříme o divergentní posloupnosti; někdy se mluví o divergenci k ±∞, pokud a_n roste nebo klesá bez mezí.

Podposloupnost je posloupnost získaná výběrem některých členů původní posloupnosti s rostoucími indexy. Každá konvergentní posloupnost má konvergentní podposloupnost se stejným limitem. Podle Bolzano–Weierstrass je každá omezená posloupnost v reálných číslech má alespoň jednu konvergentní podposloupnost.

Monotónní posloupnost je taková, která buď neroste, nebo neklesá. Pokud je zároveň omezená, má limitu. Známé typy jsou aritmetická posloupnost a_n = a_1 + (n−1)d a geometrická posloupnost a_n = a_1 r^{n−1}.

Často se používá notace a_n s indexem n; v reálných číslech se pojmy konvergence a Cauchyova posloupnost vztahují k existenci limity. V praktických aplikacích se posloupnosti používají k popisu postupného bližování k hodnotám a v analýze se spoléhají na jejich konvergenci či divergens.