Polynomifunktiot

Polynomifunktiot ovat reaalilukujen joukkoon R määriteltyjä funktioita, joiden arvot määritellään polynomilla. Tyypillisesti polynomifunktio f on muoto f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0, missä a_i ovat reaaliarvoja ja n on ei-negatiivinen kokonaisluku. Aste n on suurin eksponentti, jonka kerroin a_n on ei-nolla.

Polynomifunktion määritelmä antaa, että sen domain on kaikki reaaliset x. Polynomit ovat jatkuvia ja erilaisia ominaisuuksiaan kuvaavia: ne ovat derivoituvia kaikkialla, ja niiden derivaattoja ovat again polynomeja. Yleinen käyttäytyminen pitkällä aikavälillä määräytyy johtokertoimen a_n ja asteen n mukaan (end behavior).

Juuret eli nollakohdat ovat niitä x-arvoja, joilla f(x) = 0. Ne vastaavat graafin x-akselin leikkauspisteitä. Reaaliset juuret ovat ilmeisiä näytössä, mutta polynomeilla voi olla myös kompleksiajuuria. Graafi määräytyy polynomin asteen sekä kertoimien arvojen mukaan; esimerkiksi parillisella asteella kuvaaja kaartuu ylös (a_n > 0) tai alas (a_n < 0) rajoittaen loppuaan, kun taas parittaisella asteella toinen pää on +∞ ja toinen -∞.

Polynomifunktion ominaisuuksia ovat sen yhdistäminen, vähentäminen, kertominen ja kompositio muiden polynomien kanssa. Tuloksena on edelleen polynomifunktio; jakamista suuremmalla kuin 0 vakion nimittäjä ei pysy polynomina. Tietojen löytäminen juurista, muotoilu ja faktorisointi sekä derivoiminen ovat keskeisiä keinoja polynomien käsittelyssä.

Käyttökohteita ovat muun muassa data- interpolointi, lähestymistavat differentiaali- ja integrointilaskentaan sekä sovellukset fysiikassa ja taloustieteessä. Tavallinen esimerkki on f(x) = 2x^3 - 5x^2 + x - 4, jonka nollakohdat ja käyrä voidaan selvittää faktorisoinnin tai numeeristen menetelmien avulla.

---