Polynomifunktioita

Polynomifunktio on funktio, jonka määrittelylauseke on polynomi. Yleinen muodossa f(x) = a_n x^n + a_{n−1} x^{n−1} + ... + a_1 x + a_0, jossa a_n ≠ 0. Aste n on suurin eksponentti, ja johtava kerroin a_n määrittää polynomin kasvun käyttäytymisen suurilla x-arvoilla. Domena on kaikille reaalilukujen joukko, ja f(x) saa arvoja reaaliluvuista.

Polynomifunktion nollakohdat eli juuret ovat ratkaisuja f(x) = 0. Juuret voivat olla todellisia tai kompleksisia, ja niiden lukumäärä sekä kertaluvut määräävät polynomin rakenteen. Reaalilukujen sisällä polynomi voidaan joskus kirjoittaa tekijämuodossa f(x) = a_n (x − r_1)^{m_1} (x − r_2)^{m_2} ..., missä r_i ovat nollakohdat. Yhteenlaskettu polynomi voidaan myös hajottaa tekijöiksi toisen asteen irridukkeiden tekijöihin reaalijäsenissään.

Polynomifunktion derivaatta f'(x) on again polynomi, ja sen nollakohdat antavat kriittiset pisteet, joissa f(x) voi olla paikallinen maksimi tai minimi. Polynomien turning pointien määrä on enintään n−1. End behavioriä kuvaa johtavan termin vaikutus: suurilla |x| arvoilla polynomi käyttäytyy pääasiassa a_n x^n, joten esimerkiksi n on parillinen ja a_n > 0 johtaa kasvavaan käytökseen sekä x → ∞ että x → −∞.

Polynomifunktioita käytetään laajasti: ne toimivat perustana polynomikoodauksessa, virheenkorjauksessa, numeerisessa laskennassa sekä tilastollisessa ja muun sovellusten alustuksissa, kuten interpolaatiota ja Taylorin sarjaa varten käytettävät polynomit. Niiden algebra on suljettu yhteen-, summa-, ristikkäis- ja koostetyhteyden alaisuuteen, mutta ei jaon osalta.