Poissonprosesseja

Poissonprosesseja kuvaa stokastinen prosessi, jolla tapahtumat havaitaan tietyllä aikavälillä satunnaisesti ja riippumattomasti. Homogeeninen Poissonprosessi N(t) määrää tapahtumien lukumäärän ajan t kuluessa. Prosessi alkaa nollasta: N(0) = 0, ja sen inkrementit ovat riippumattomia sekä stabiilit ajan mittaan, kun otetaan kiinni palaa, N(t+s)−N(t) on Poisson-jakautunut arvolla λs. Parametri λ>0 on prosessin kiihtyvyys tai tapahtumien keskimääräinen taajuus ajan yksikössä.

Keskeinen piirre on, että N(t) on Poisson-jakautunut kaikkien ajan hetkien yli: P(N(t)=k) = e^(−λt) (λt)^k / k!. Interarrival-aikavälit T1, T2, ... ovat i.i.d. eksponentiaalijeon mukaan, Tn = time between n−1 and n tapahtumaa, mikä osoittaa muistamattomuuden. Tapahtumien ajat S_n = T1+...+T_n muodostavat tapahtumien aikapisteiden muodostaman pistetapauksen.

Molemmat perusmuodot esiintyvät: homogeeninen Poissonprosessi, jossa λ on vakio, sekä epäyhtenäinen (inhomogeeninen) Poissonprosessi, jossa verrannollinen kiihtyvyys λ(t) vaihtelee ajassa. Tässä tapauksessa E[N(t)] = Λ(t) = ∫0^t λ(u) du, ja inkrementtien jakauma on Poisson-jakautunut parametreilla Λ(t)−Λ(s).

Sovelluksia on runsaasti: puhelin- ja verkkopalvelujen saapuvien tapahtumien mallinnus, sähköpostien tai verkkoviestien saapumisnopeuden simulointi, radioaktiivisen säteilyn havaitseminen, liikenteen ja varastointijärjestelmien simulointi sekä rahoitusmalleissa tiettyjen tapahtumien, kuten hintamuutosten, pisteiden mallintaminen. Poissonprosessi muodostaa tärkeän perustan monille pistetapahtumien ja satunnaisten saapumisten malleille.