Poissonbracketar

Poissonbracketar är en bilinjär operation mellan funktioner på fasrummet i klassisk mekanik. I kanoniska koordinater (q_i, p_i) definieras Poissonbracketen mellan två differentiabla funktioner f och g av följande form: {f,g} = ∑_i (∂f/∂q_i ∂g/∂p_i − ∂f/∂p_i ∂g/∂q_i). Grundläggande bracketer mellan koordinaterna är {q_i, q_j} = 0, {p_i, p_j} = 0 och {q_i, p_j} = δ_ij. Dessa relationer återspeglar den kanoniska strukturen i fasrummet.

Poissonbracketar uppfyller bilinearitet, antisymmetri och Jacobi-identitet, samt Leibniz-regeln {f,gh} = {f,g}h + g{f,h}. Dessa egenskaper gör att observables bildar en Lie-algebrasstruktur med bracketen som Lie-produkt och att varje funktion fungerar som derivation när den står i vänsterled.

Dynamiskt används Poissonbracketar för att beskriva tidsutvecklingen. För en tidsoberoende Hamiltonian H gäller df/dt = ∂f/∂t + {f,H}. Särskilt dq_i/dt = ∂H/∂p_i och dp_i/dt = −∂H/∂q_i följer från f = q_i respektive f = p_i.

Geometriskt härrör Poissonbracketarna från den symplektiska strukturen på fasrummet, där ω = ∑_i dq_i ∧ dp_i. Varje funktion f korresponderar till en Hamiltonian-vektorfält X_f, och {f,g} = ω(X_f, X_g) = X_g(f) = −X_f(g).

Användningar och betydelse: Poissonbracketar används inom klassisk mekanik, studier av integrabla system och reduktion av dynamiska system. Vid kvantisering ersätts i princip Poissonbracketar av (1/(iħ)) [F,G], upp till ordnings- och teckenproblem.