Pivotelementet

Pivotelementet är ett element i en matris som väljs som pivot under Gauss-eliminering och relaterade eliminationstekniker. Det fungerar som referenspivot i den aktuella kolumnen och används för att skapa nollor i raden under pivotpositionen genom radoperationer. Oftast är pivoten det icke-noll elementet längst fram i den aktuella kolumnen efter eventuella radbyten.

I praktiken används pivotering för att förbättra numerisk stabilitet och för att undvika division med mycket små tal. Genom att byta rader kan man flytta det största (i absolut värde) till pivotpositionen innan eliminationen fortskrider. Så kallad partiell pivotering innebär endast radbyten, medan komplett pivotering innebär både rad- och kolumnbyten för att hitta den största pivoten i det återstående blocket.

I LU-faktorisering, där en matris A skrivs som P A = L U med en permutationmatris P, spelar pivoten en central roll. Pivotelementen överförs till diagonalen i U, medan multiplikationer med L tillåter att eliminationen leder till en lösning av systemet Ax = b. Valet av pivot påverkar både stabilitet och numerisk noggrannhet, särskilt vid stora system eller när matrisen är dålig konditionell.

Sammanfattningsvis utgör pivotelementet kärnan i flera algoritmer för att lösa linjära system och för att utföra matrisfaktoriseringar. Genom att välja lämpliga pivoter minskar man fel och ökar chansen att få korrekta och robusta lösningar.