Piirväärtusest

Piirväärtusest on matemaatikas kirjeldus, millele funktsioon või järjend läheneb, kui sisend või indeks liikub koha, mille suunas piiratakse. Piirväärtus võib esineda erineval viisil: kui x kaldub mingile punktile a, või kui x kasvab lõpmatusse. Kirjeldatakse nii funktsiooni kui ka järjendi piirväärtust. Notatsiooniks on tavaliselt lim_{x→a} f(x) = L või lim_{n→∞} a_n = L.

Funktsiooni piirväärtus. Kui olemas on L nii, et f(x) läheneb L-le iga kord, kui x läheneb väärtusele a (x ≠ a) ja f on selle ümbruses defineeritud, siis öeldakse, et piirväärtus olemas ja võrdub L. Tihti kirjeldatakse ka ühepoolset piirväärtust lim_{x→a+} f(x) või lim_{x→a-}. Kui f(x) kasvab lõpmatusse või kahaneb lõpmatusse, siis öeldakse piirväärtus lõpmatusena.

Epsilon-delta definitsioon: piiri olemasolu tähendab, et iga ε>0 jaoks leidub δ>0 nii, et 0<|x−a|<δ implies |f(x)−L|<ε. See annab rangelt kontrollitava kirjelduse piirväärtusest. Piirväärtused võivad olla ka piirväärtused lõpmatuses.

Järjendite piirväärtus. Järjendi (a_n) piirväärtus L tähendab, et for every ε>0 on olemas N, nii et n≥N korral |a_n−L|<ε. Järjendid võivad konvergeerida või mitte.

Seostega: piirväärtus on alus kontinuituse mõistmiseks ja liigestab toimingute, nagu liitmine või korrutamine, piire. Näited: lim_{x→2} x^2 = 4; lim_{x→0} (sin x)/x = 1.