Peruskommutaatioihin

Peruskommutaatioihin viittaa termi, jolla kuvataan operaattoreiden välistä ei-kommutointia kvanttimekaniikassa. Kommutaatio määritellään [A,B] = AB − BA, ja se kertoo, kuinka kaksi observabiilia muuttujaa vaikuttavat mittauksiin ja toisiinsa.

Yleisimmin puhutaan position ja momentin peruskommutaatioista. Yhdellä vapausasteella on [x, p] = iħ, jossa ħ on reduced Planckin vakio. Monessa ulottuvuudessa tämän laajennus on [x_i, p_j] = iħ δ_{ij}, ja [x_i, x_j] = 0 sekä [p_i, p_j] = 0. Nämä säännöt määrittelevät Heisenbergin algebran ja ovat keskeisiä kvanttilajittelussa sekä kvanttimekaniikan rakennelmissa.

Merkittäviä seuraamuksia on muun muassa epävarmuusperiaate: ΔA ΔB ≥ (1/2) |⟨[A,B]⟩|. Peruskommutaatioiden vuoksi esimerkiksi Δx Δp ≥ ħ/2, mikä rajoittaa yhtä aikaa tarkkoja mittauksia.

Käytännössä peruskommutaatioita sovelletaan kvanttitason kanoniseen kvantisaatioon, jolloin klassiset q- ja p-muuttujat korvataan operaatioilla, ja niiden välinen kommutaatio vastaa Poisson- bracketsin suoraa kvanttisointia: [A,B] ~ iħ {A,B}. Tämä mahdollistaa kvanttiluokkien ja sähkömagneettisten kenttien sekä hiukkasmoduulien matemaattisen käsittelyn.

Esimerkkejä muista peruskommutaatioista ovat spinikommutaatioiden [S_i, S_j] = iħ ε_{ijk} S_k sekä bosonien luokkien [a_i, a_j†] = δ_{ij}. Fermionien tapauksessa käytetään antikommutaatioita. Peruskommutaatioihin liittyvät käsitteet ovat keskeisiä monissa kvanttimekaniikan osa-alueissa.