Permutaatioryhmänä

Permutaatioryhmänä viittaa ryhmään, jonka alkiot ovat joukon permutaatioita ja jonka ryhmäoperaatio on permutaatioiden yhdistäminen. Permutaatio on bijektiivinen kuvaus joukolta itselleen. Yksinkertaisimmillaan tarkastellaan permutaatioryhmää, joka vaikuttaa äärelliseen joukkoon, esimerkiksi joukkoon {1, 2, ..., n}. Tällaisen joukon permutaatiot muodostavat symmetrisen ryhmän S_n, jonka kertaluku on n!.

Permutaatioryhmät ovat keskeisiä matematiikan eri aloilla, erityisesti ryhmäteoriassa ja kombinatoriikassa. Niitä käytetään esimerkiksi ryhmien rakenteen tutkimiseen, kombinatoristen ongelmien mallintamiseen ja eri matemaattisten rakenteiden luokitteluun. Cayleyn lauseen mukaan jokainen äärellinen ryhmä on isomorfinen jonkin symmetrisen ryhmän osaryhmän kanssa, mikä korostaa permutaatioryhmien yleisyyttä.

Permutaatioita voidaan esittää monin eri tavoin, kuten kaksirivisellä notaatiolla tai syklinotaatiolla. Syklinotaatio on erityisen kätevä tapa esittää ja manipuloida permutaatioita, sillä se purkaa permutaation yhden tai useamman syklin tuloksi. Permutaatioryhmän rakenne voi olla monimutkainen, ja sen tutkiminen auttaa ymmärtämään ryhmän ominaisuuksia, kuten sen aliryhmiä ja normaaliryhmiä. Permutaatioryhmät ovat tärkeitä myös esimerkiksi kubinikubic-pulman ratkaisemisessa ja salakirjoituksessa.