Partisjonssfunksjon

Partisjonssfunksjon er betegnelsen i tallteorien for p(n), antallet måter et heltall n kan skrives som sum av positive heltall uten å ta hensyn til rekkefølgen. En partisjon er en slik oppdeling av tallet. For eksempel har n = 4 fem partisjoner. Man setter p(0) = 1 og p(n) = 0 for negative n.

Genererende funksjon: Summen av p(n) over n gir en genererende funksjon som er lik produktet av uendelige faktorer, nemlig sum_{n≥0} p(n) x^n = ∏_{k≥1} 1/(1 − x^k). Dette uttrykket gir dyp innsikt i partisjoner og knytter partisyonstallene til moduledannelse og rekker.

Recurrence: Partisjonstallene oppfyller Euler–pentagonalnummer-rekkes ligning. Med g_k = k(3k−1)/2 for k = 1, −1, 2, −2, 3, −3, … gjelder p(n) = p(n−1) + p(n−2) − p(n−5) − p(n−7) + p(n−12) + p(n−15) − …, hvor termer med negative indekser regnes som 0. Denne rekursjonen gjør det mulig å beregne p(n) effektivt.

Asymptotikk og eksakte uttrykk: For store n vokser p(n) svært raskt, og Hardy–Ramanujan-formelen gir p(n) ~ (1/(4n√3)) exp(π√(2n/3)). Rademachers eksakte formel gir en konvergerende serie som gir p(n) nøyaktig. Partisjonssfunksjonen forholder seg dermed til modulære former, og har dype forbindelser til tallteori og kombinatorikk.

Kongruensegenskaper: Partisjonstallene har kjente congruensegenskaper, slik som p(5n+4) ≡ 0 (mod 5), p(7n+5) ≡ 0 (mod 7) og p(11n+6) ≡ 0 (mod 11) for alle n.