Paretofordeling

Paretofordeling er en kontinuerlig sandsynlighedsfordeling som ofte anvendes til at modellere kraftigt skiftende størrelser med lange, tunge haler, eksempelvis indkomst, formuer, firmastørrelser og bystørrelser. Den blev introduceret af Vilfredo Pareto baseret på empiriske observationer af indkomstfordelinger og beskriver, hvordan en stor del af observationerne befinder sig i den øverste del af skalaen.

Den klassiske Paretofordeling, også kaldet Pareto Type I, har variablen X med støtte x >= x_m og densiteten f(x) = alpha x_m^alpha / x^{alpha+1} for x >= x_m. CDF’en er F(x) = 1 - (x_m/x)^alpha. Her er x_m>0 det minimale værdiniveau, og alpha>0 kaldes shape-parameteren, som bestemmer haleens tunghed. Den tilhørende overlevelsesfunktion er P(X>x) = (x_m/x)^alpha. For alpha > 1 har man en endelig forventning, og for alpha > 2 har man en endelig varians. Mindre værdier af alpha giver en tungere hale.

Anvendelser omfatter studier af indkomst- og formuesfordeling, virksomhedsstørrelser og urbanisering, hvor de øverste flader ofte følger en power-law. Parameterestimering sker typisk gennem maksimum likelihood, økomodeller eller momentmetoder, og der findes variationer som to- og tre-parameter Paretofordelinger. Begrænsningerne inkluderer behovet for en passende tærskel og at modellen ikke passer godt til data uden tunge hale; i praksis anvendes ofte alternative eller kombinerede modeller afhængigt af data.