Parametrisaatiota

Parametrisaatio on prosessi, jolla käyrä, pinta tai yleisemmin geometrinen kappale esitetään parametrien kautta. Matematiikassa kappaleesta valmistetaan kartta F, joka ottaa parametrinavaruuden D ⊂ R^k ja kuvaa sen kohteeseen R^n. Piste kussakin F(u) on kappaleen piste, ja kappale voidaan ajatella koostuvan kaikista kuvauksista kerättyinä kuviin F(D).

Yleisimmät esimerkit ovat käyrien ja pintojen parameterisointi. Ympyrä voidaan parameterisoida esimerkiksi muodossa x = cos t, y = sin t, missä t kuuluu suljetulle välillä [0, 2π). Suoraviivainen segmentti x = t, y = 0, t ∈ [0,1]. Pinta voidaan parameterisoida esimerkiksi sfääriin spheroidin kaltainen järjestelmä: F(θ, φ) = (sinφ cosθ, sinφ sinθ, cosφ), jossa θ ∈ [0, 2π) ja φ ∈ [0, π].

Säännöllinen parametrisaatio on avainasemassa. Siinä osittaiset derivaatat ∂F/∂u_i ovat lineaarisesti riittämättömän riippumattomia koko D-alueella, jolloin kappale on paikallisesti peitetty ilman repeämää. Tämä mahdollistaa muun muassa tangenttivektorien määrittämisen ja kuvion geometristen ominaisuuksien kuten pinta-alan, arc lengthin ja tilavuuden laskennan muuttujien kautta integroituna.

Reparameterisointi tarkoittaa saman kappaleen kuvaamista eri parametrien avulla. Geometrinen kappale pysyy samana, mutta sen kuvaus muuttuu; tämä vaikuttaa vain parametrisaation muodolliseen esitykseen, ei kappaleen itse geometriaa.

Sovelluksia ovat muun muassa laskennallinen geometria, tilavuuden ja pinta-alan laskenta, sekä tietotekniikassa mallinnus ja tekstuurien UV-mappaus. Parametrisaatio on keskeinen käsite sekä teoreettisessa analyysissä että sovelluksissa.