Overfladeintegral

Overfladeintegral, eller surface integral, er en generalisering av integralet av en funksjon langs en kurve til et integral over en todimensjonal flate i tre dimensjoner. Det finnes to hovedtyper: integraler av skalarfelt over en overflate og integraler av vektorfelt (flux) gjennom en overflate.

For en skalarfunksjon f: R^3 → R og en glat overflate S som kan parametriseres som S = r(D) med r(u,v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v)) og (u,v) i et område D i planen, er overflateintegralet definert som ∫_S f dS = ∫∫_D f(r(u,v)) || ∂r/∂u × ∂r/∂v || du dv. Her er || ∂r/∂u × ∂r/∂v || arealet av infinitesimalområdet dS på overflaten.

For et vektorfelt F: R^3 → R^3 og en orientert overflate S, er overflatefluxen gitt ved ∫_S F · n dS, hvor n er enhetsnormalen til S i den valgte orienteringen. Ved parametrisering blir n dS representert som (∂r/∂u × ∂r/∂v) du dv, og integralet blir ∫∫_D F(r(u,v)) · (∂r/∂u × ∂r/∂v) du dv. Orienteringen påvirker tegnet av integralet.

Krapp og bruk: S må være glatt eller stykkevis glatt. Overfladeintegralet kobler sammen geometri og felt i fysikk og ingeniørfag, for eksempel beregning av fluks av elektriske eller væskefelter gjennom en flate, eller beregning av overflatearealet. Relaterte teoremer som Stokes’ teorem og Gauss’ divergensteorem knytter overflateintegraler til linje- og volumintegraler.