Otoskeskimäärä

Otoskeskimäärä tarkoittaa tilastollista aritmeettista keskiarvoa, joka lasketaan otoksesta X1, X2, ..., Xn. Otoskeskimäärä x̄ saadaan kaavalla x̄ = (1/n) Σ xi. Se toimii populaation keskiarvon estimanttina, kun otos on satunnaisesti poimittu populaatiosta.

Otoskeskimäärän odotusarvo ja varianssi: Jos X1, ..., Xn ovat riippumattomia ja identtisesti jakautuneita (IID) ja niillä on finite keskiarvo μ ja varianssi σ^2, niin E[x̄] = μ ja Var(x̄) = σ^2/n. Populaation varianssia ei aina tiedetä, jolloin sen tilallinen estimaatti on otosvarianssi s^2 = (1/(n-1)) Σ (xi − x̄)^2, ja otoskeskimäärän standardivirta on s/√n. Näin voidaan muodostaa luottamusvälejä ja suorittaa testejä.

Keskeiset teoreettiset ominaisuudet: Lain määräämää suuri otoskoko -lause (LLN) varmistaa, että x̄ lähestyy μ:ta kohti populaatiokeskiarvoa suurilla n. Keskiluvun laki ja siihen liittyvä keskivertoisuus osoittavat, että suurilla n x̄ on suurimmillaan normaalijakautunut: x̄ ∼ N(μ, σ^2/n) likimain suurina otosko'oissa. Tämä mahdollistaa luottamusvälien ja z-/t-testien käytön populaation keskiarvon inferenssissä.

Käytännön huomioita: Otoskeskimäärä on herkkä poikkeaville arvoille ja vaatii riittävän suuren otoskoko, jotta se kuvaa luotettavasti populaation keskiarvoa. Se on yleisin ja helppokäyttöinen estimointi- ja testausmenetelmä monissa tilastollisissa sovelluksissa.