Ortogonointimenetelmät

Ortogonointimenetelmät viittaavat joukkoon matemaattisia tekniikoita, joiden avulla muunnetaan vektorit tai funktiot ortogonaaliseksi joukoksi. Ortogonaalisessa joukossa kunkin vektorin tai funktion pistetulo minkä tahansa muun joukon alkion kanssa on nolla. Tämä ortogonaalisuuden ominaisuus tekee ortogonaalisista joukoista erittäin hyödyllisiä monilla tieteen ja tekniikan aloilla, erityisesti lineaarialgebrassa, funktionaalianalyysissä ja numeerisessa analyysissä.

Yleisimpiä ortogonointimenetelmiä ovat Gram-Schmidt-ortogonalisaatioprosessi ja QR-hajotelma. Gram-Schmidt-prosessi on iteratiivinen menetelmä, joka ottaa annetun lineaarisesti riippumattoman vektorijoukon ja tuottaa uuden joukon, joka on ortogonaalinen ja kantaa saman aliavaruuden kuin alkuperäinen joukko. QR-hajotelma puolestaan hajottaa matriisin kahden matriisin tuloksi: ortogonaalisen matriisin (Q) ja ylemmän kolmio-matriisin (R). Q-matriisin sarakkeet muodostavat ortogonaalisen joukon.

Ortogonointimenetelmiä käytetään laajalti esimerkiksi lineaarisissa pienimmän neliösumman ongelmissa, matriisin ominaisarvojen ja -vektorien laskemisessa sekä signaalinkäsittelyssä ja kuvankäsittelyssä Fourier-sarjojen ja muiden ortogonaalisten funktiojoukkojen avulla. Ortogonaalisuuden avulla voidaan usein yksinkertaistaa laskutoimituksia ja parantaa numeerista vakautta.