Ordningstyper

En ordningstyp är en isomorfklass av linjärt ordnade mängder. Två linjärt ordnade mängder X och Y har samma ordningstyp om det finns en bijection f:X→Y som bevarar ordningen: x ≤ x' om och endast om f(x) ≤ f(x'). Att tala om ordningstyper innebär alltså att man kategoriserar ordnade strukturer efter deras ordningsstruktur, oberoende av vilken representation de har.

Välordnade mängder och ordinaler. För välordnade mängder är ordningstyperna särskilt viktiga: varje välordnat mängd är isomorf till en unik ordinal. Därmed kan man tala om ordningstypen hos en välordnad mängd som dess ordinal. I praktiken används ordinals som representanter för dessa ordningstyper.

Exempel. Den naturliga ordningen på talmängden N har ordningstypen ω. En mängd med n element har ordningstypen n (för n en finit ordinal). Den omvända ordningen på ω betecknas ofta ω*, och kombinationer som ω+1, ω·2, ω^2 används för att beskriva längre välordnade strukturer. Finita och oändliga ordningstyper kan kombineras och delas upp i olika klasser genom operationer som addition, multiplikation och exponentiering av ordningstyper.

Definitioner av operationer. Addition, multiplikation och exponentiering av ordningstyper definieras genom konstruktioner av nya ordnade mängder, ofta med sammanfogning eller lexikografisk ordning. Dessa operationer är generellt icke-kommutativa och ger upphov till en rik struktur inom ordinalaritmetik, som används i bevisföring och teoribildning inom set teori och grundläggande matematik.

Användning och betydelse. Ordningskategorin ordningstyper används för klassificering av välordnade strukturer, analys av deras egenskaper och konstruktioner av transfinit genom användning av ordinals som kan ses som "mängdens namn" under ordningens form.