Omaväärtusvektoreid

Omaväärtusvektorid on mõiste lineaaralgebras. Kui A on ruutmaatriks ja v ≠ 0 on vektor, mille jaoks kehtib A v = λ v mõne skalaarsuuruse λ (omaväärtus), nimetatakse v omaväärtusvektoriks ja λ omaväärtuseks. Iga omaväärtus λ seob vektorruumi Eλ = { v ≠ 0 : A v = λ v } = null(A − λ I). Seda ruumi nimetatakse eigenspace’iks; selle dimensiooni nimetatakse geomeetriliseks multiplicity’iks. Algkordus omaväärtuseks kordus määratakse kui λ ilmub karakteristliku polünoomi juurena.

Diagonalisatsioon: Kui maatriksil A on piisavalt lineaarsetelt sõltumatuid omaväärtusvektorid (st n erinevat omaväärtust), siis A on diagonaaliseeritav: leitakse invertible P ja diagonaalne D selliselt, et A = P D P^{-1}, kus D(i,i) on vastav omaväärtus. Kui piisavalt sõltumatuid omaväärtusvektoreid ei leita, kirjeldatakse A Jordani vormiga.

Omaväärtusvektorite omadused: Erinevate omaväärtuste korral on nende omaväärtusvektorid lineaarsetelt sõltumatud. Reaalsete sümmeetriliste maatriksite korral on erinevate omaväärtuste omaväärtusvektorid tavaliselt ortogonaalsed ning neid saab vajadusel normaliseerida, et moodustada ortonormaalne alus.

Arvutamine ja rakendused: Omaväärtusvektorid leitakse lahendades det(A − λI) = 0 ja seejärel leidke vastav (A − λI) x = 0. Numerikaliselt kasutatakse meetodeid nagu QR-algoritm ja jõu kordus (power iteration). Omaväärtusvektoreid rakendatakse laialdaselt näiteks peamises komponentanalüüsis (PCA), dünaamilistes süsteemides ja Markovi kettides ning need pakuvad teavet süsteemi käitumise suundade kohta.