Offdiagonalelementer

Offdiagonalelementer er de elementene i en kvadratisk matrise som ikke ligger på hoveddiagonalen, altså alle aij der i er ulik j. Hoveddiagonalens elementer er a11, a22, og så videre. For en 3x3-matrise A tilhørende definert som

A = [ [a11, a12, a13],

[a21, a22, a23],

[a31, a32, a33] ],

er offdiagonalelementene a12, a13, a21, a23, a31 og a32.

Egenskaper og relasjoner til spesifikke matriser. Alle elementer utenfor hoveddiagonalene er off-diagonal; i en diagonal matrise er alle offdiagonalelementene like null. I en symmetrisk matrise er aij lik aji for alle i og j, slik at offdiagonalene kommer i like par (a12 og a21, osv.). I en hermitisk matrise er aij lik kompleks konjugert av aji. Offdiagonalene betyr ofte kobling mellom basisvektorer under en lineær transformasjon og beskriver hvordan transformasjonen blander eller roterer disse vektorene.

Rolle i diagonalisering og spektral teori. Offdiagonalelementene kan redusere når matrisen transformeres til en diagonalt form ved en passende baseskifte; hvis matrisen er diagonalisierbar, kan man velge en basis av egenvektorer slik at den nye representasjonen blir diagonal og dermed har null offdiagonal. Ikke desto mindre kan enkelte matriser ikke arbeide seg helt ut av offdiagonalene gjennom enhetlig likhet, og Jordanformer viser gjenværende treff i offdiagonalposisjoner.

Anvendelser og relaterte begreper. I grafteori brukes ofte adjeksensmatriser der offdiagonalelementene angir om to noder er tilkoblet. I numerisk linear algebra påvirker offdiagonalene algoenes sparsitet, feilkontroll og effekt av operasjoner som beregning av egenverdier, kolonneutveksling og transformasjoner som Frobenius-norm inkluderer alle elementer, også offdiagonalene.